大多数教科书或参考书往往只关注解题的最短路径，即直接从定理的证明和问题的解决方法入手，按照一定的步骤和顺序进行讲解。这种教学方式虽然可以让学生快速掌握解题方法，但却忽略了思维过程的探索和培养。而《数学女孩的秘密笔记》系列的最大特点在于，它不仅仅提供了解题的答案，更是带领读者一起探索问题的解决过程，让读者能够跟随书中人物的思维轨迹，寻找最正确的出发点。
通过基于解题思路的发问，可以激发读者的思考能力，培养他们从不同的角度看待问题。这种方法不仅有助于活跃思维，还可以帮助读者在遇到困难时，尝试不同的路径，从而找到最佳的解决方案。这与传统的死记硬背的解题方法不同，它更注重培养读者的思考能力和问题解决能力。
在《数学女孩的秘密笔记》系列中，读者可以跟随书中人物一起思考问题，体验不同的思维方式和方法。这种互动性和参与感可以让读者更加深入地理解问题，并从中获得更多的启示和收获。学会思考不仅是一种重要的思维能力，更是每个人在生活中必备的技能。通过阅读这个系列，读者可以逐渐培养自己的思考能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
下文就是作者用对话形式通俗又精彩的讲解微积分的基本定理，跟着主人公的思路，可以轻松入门微积分。
来源 | 《数学女孩的秘密笔记：积分篇》
作者 | [日]结城浩
译者 | 卫宫纮
1
图书室
放学后，我和蒂蒂在学校的图书室里讨论利用区分求积法求图形面积。
我：“……我前几天和由梨一起做了这样的计算。虽然有些复杂，但区分求积法确实可以计算面积，真的很有意思哦！”
蒂蒂：“由梨好厉害哦，什么都能够马上掌握。没想到她也学会了区分求积法！”
蒂蒂眨着大大的眼睛这么说。她是比我小一届的学妹，留着一头俏丽短发，个性活泼开朗。
我：“区分求积法只是听起来很难，其实非常容易理解哦！”
蒂蒂：“这样还是很厉害啊！咦，但是……”
蒂蒂话说到一半就停了下来。她微歪着头想了一想，继续说下去。
蒂蒂：“那个，学长提到
的计算，利用平方和来求极限值……但如果每次都要这样计算的话，利用区分求积法来求面积还是很困难，不是吗？”
我：“是这样没错。但因为‘积分是微分的逆运算’，所以若能反过来找到微分之前的原函数，就能够知道面积哦。”
蒂蒂：“积分是微分的逆运算……”
我：“因为先积分再微分，就会变回原状。”
蒂蒂：“咦，奇怪……越来越混乱了。我们是在讲用积分求面积吗？”
我：“对，没错哦。不只有面积，长度、体积都可以用积分来求。”
蒂蒂：“利用积分求具体的面积，比如求
的微分，结果不就是 0吗？因为常数的微分是 0。这样的话，为什么能够说‘积分是微分的逆运算’？”
我：“啊，常数
微分后的确会变成 0，但这里不是对常数微分，而是对表示面积的函数微分。我前面应该说明清楚才对。那么，接下来就来依次说明积分和微分会互为逆运算吧。”
蒂蒂：“好的！”
2
这是什么函数
我：“举例来说，我和由梨想求 y =x 在 0≤x≤1 范围所围成的图形面积。
蒂蒂：“嗯，这个我知道，是等腰直角三角形嘛。”
我：“在区间 [0, 1]……也就是 0≤x≤1 的范围，三角形的面积会是
“。
蒂蒂：“是啊。”
我：“不过，区间右端未必是 1，也可能是变量 a，求在区间 [0, a]三角形的面积。”
蒂蒂：“嗯……面积会是
。“
我：“这样的话，三角形的面积可以说是‘a的函数’，蒂蒂。”
蒂蒂：“a 的函数……”
我：“只要将一个具体的数值代入 a，就能决定出一个三角形的面积。函数就是这样的关系。”
蒂蒂：“啊，对哦。a=1 的话，面积会是
的话，面积
会是
……那个，学长。这样不是又变得更困难了吗？”
我：“嗯，没事的。目前还没有出现困难的地方哦！y =x 在区间[0, a] 所围成的三角形面积会是
的图像会呈现为抛物线。”
。当 a 越来越大时，面积也会跟着变大。将三角形的面积当作 a 的函数来作图，函数
蒂蒂：“嗯，这我了解。
；a =2 时 y =2……形成这样的曲线图。”
我：“那么，令 a 的函数
为 F，定义函数 F 为
哎呀，嗯……虽然也可以直接用 a 做下去，但我们通常不会用符号 a 表示变量，所以改成符号 x 吧。最后会像下面这样。”
蒂蒂：“函数中使用的符号有什么限制吗？”
我：“没有。一般在讨论函数的时候，大多会像 F (x) 一样使用 x，
但并没有特别限制一定要用 x。例如，也可以换成 t：
也可以换成：
函数 F 的形式，无论用哪一种都一样。”
蒂蒂：“我喜欢用爱心！”
蒂蒂高兴地说着。
我：“函数 F (x)变成求在区间 [0, x] 的面积函数。如果区间是 [0, a]，
则面积会是 F (a) 。”
蒂蒂：“嗯。没问题。”
我：“讲到这里，我们再稍微说明‘积分是微分的逆运算’。
蒂蒂在前面选择对常数
微分，但这样做不大对，应该对面积函数 F (x)中的 x 微分。”
蒂蒂：“也就是说，对
中的x 微分……”
我：“是的。有趣的是，对
中的 x 微分后会是 x，变回一开始的
图形函数 y=x。”
蒂蒂：“学……学长，我好像还是不懂。听完学长的解说，我知道
不是对
微分，但还是觉得哪里怪怪的……”
我：“哪里怪怪的？”
蒂蒂：“那个……前面说‘积分是微分的逆运算’，积分后再微分会变回原状……这是理所当然的事情。所以，我不懂学长口中的‘有趣’在哪里，感觉就像不知道一个笑话的笑点一样。
我：“……抱歉。”
蒂蒂：“不……不是！我没有这个意思！”
蒂蒂赶紧挥手否定。
我：“不是写成
这样具体的形式，而是用 F (x)的一般写法会比较容易理解吧。将‘积分是微分的逆运算’分成两个阶段的话，会变成下面这样哦，蒂蒂。这边要注意小写 f (x) 和大写 F (x)表示不同的函数。”
①函数 f (x) 所围成的图形面积，称为函数 F (x)。
②将函数 F (x)对 x 微分后，会变回函数 f (x) 。
蒂蒂紧盯着①和②。
蒂蒂：“该不会……两件事看似无关，其实是可逆的关系……是在说这个吗？”
我：“没错！”
蒂蒂：“函数 f (x) 所围成的图形面积，可以用区分求积法计算。此时，不是单求出一个具体的图形面积，而是得出不管区间右端点为何，都能够知道面积的函数形式。我们把这个函数叫作 F (x)……这就是①在讲的事情。”
我：“对对，这样就对了。”
蒂蒂：“然后，把求面积的①先搁在一旁，对函数 F (x)微分。这样一来，神奇的事情发生了。刚才的函数 f (x) 突然又跑出来了……这就是②在讲的事情。”
我：“嗯，没错。有趣的地方就在这里！”
蒂蒂：“我大概了解了。‘用区分求积法求面积’和‘微分’两件事看似毫无关系，但对表示面积的函数微分后，会非常神奇地变回原本的函数！”
我：“是啊。”
蒂蒂：“如果说‘用区分求积法求面积’是‘积分’，则‘积分后再微分会变回原状’？”
我：“没错！这个结论可以说成‘积分是微分的逆运算’。”
蒂蒂：“原来如此。不能直接从‘积分是微分的逆运算’来思考。”
我：“怎么说？”
蒂蒂：“我前面认为‘积分是微分的逆运算’是在定义积分，所以才觉得结果理所当然。但是，‘积分’和‘微分’是两件不同的事情，应该要从这里思考下去。‘积分’和‘微分’看起来没有关系，但经过一番运算后，会发现两者是可逆的关系，也就是‘积分是微分的逆运算’。真的好神奇。”
我：“你好厉害！我想讲的就是这个。”
3
微分与积分
接着，蒂蒂又开始沉思了。
蒂蒂：“光是听到‘积分是微分的逆运算’，容易直接形成这样的观念，感觉跟‘减法是加法的逆运算’‘除法是乘法的逆运算’一样。所以，我觉得自己现在能够理解。”
我：“这样啊。所以，蒂蒂刚刚才会对是以‘积分是微分的逆运算’来定义，还是具备‘积分是微分的逆运算’的性质，而感到混乱嘛。”
蒂蒂：“对啊。不过，我不懂，为什么‘用区分求积法求面积’会有‘微分’逆运算的性质？”
我：“‘不明白的地方’提升到更高的层次了！”
蒂蒂：“为什么‘用区分求积法求面积’会变成‘微分’的逆运算呢……真是不可思议。啊，这该不会是没有意义的疑问？”
我：“不会没有意义哦！这是微积分的基本定理，能够进行证明。”
蒂蒂：“证明！接着来证明吧。”
我：“嗯，没错。虽然我没办法严格证明微积分的基本定理，但可以说个大概哦！”
蒂蒂：“拜托学长了！”
我：“大概像是这样……”
蒂蒂：“这个……好难。”
我：“看着图形一步一步思考，你应该就会懂了。不用着急，我们一起来想想吧。”
蒂蒂：“叙述中的 a 和 b 是指什么？”
我：“这只是用来讨论一般的区间而已。”
蒂蒂：“所以，a 和 b 没有特别的含义？”
我：“嗯，是的。”
蒂蒂：“可是……这对我来说还是好难。”
我：“没有这回事。这只是对前面的叙述进行了一般化而已。假设
，令 y=t 在区间 [0, x] 所围成的图形面积为 F (t) ，则
不过
所以
的确是逆运算的关系。”
蒂蒂：“啊……这是前面举的例子吗？”
我：“对。举另外一个例子
在区间 [0, x] 所围成的
图形面积F (x) ，用区分求积法得
不过
所以
果然还是逆运算的关系。将积分求得的面积当作函数来微分，会变回原来的状态。”
蒂蒂：“但是，除了
之外，其他也会这么顺利变回原状吗？”
我：“的确会有这样的疑问。顺利变回原状这是微积分基本定理的主张。所以，我才会这样说明哦！”
蒂蒂：“啊……对哦。我总算把概念联结在一起了。”
我：“因此，我们想用微积分的基本定理确认的是
也就是
成立。我们的目标是，用区分求积法得出的面积函数 F (x)，推导出这个式子。”
蒂蒂：“但是，我们不知道一开始的函数，要怎么求该函数所围成
的图形面积F (x)和微分后的 F ′(x)？”
我：“区分求积法可以理解成，将图形拆分成许多宽度窄的长方形，将其中一个长方形放大来看。宽度以 h 来表示（h>0）。
蒂蒂：“出现 L 和 M 了。”
我：“令函数 f (t) 在区间 [x, x +h] 的最小值为 L、最大值为 M，利用 L、M 和‘夹逼定理’来求面积。
蒂蒂：“嗯……”
我：“这个区间的宽度为 h，Lh 是左边较小的长方形面积、Mh 是右边较大的长方形面积，然后， y = ( ft) 所围成的图形夹于两个长方形之间。其面积是
两个函数相减。到这里能够理解吗？”
蒂蒂：“左边的 Lh 和右边的 Mh 能够理解，但我不懂
是指什么？”
减去 F (x) ……咦，
我：“ F (x) 是表示在区间 [a, x] 的图形面积，
则是在区间 [a, x + h] 的图形面积哦！接着对比图形来看，就能够理解了。”
蒂蒂：“啊！我懂了。这意思是总面积减去左边部分的面积吧。的确就是
。”
我：“没错。稍微整理一下就是
后面只剩下除以宽度 h 而已。因为 h >0，所以每一项除以 h
后，不用改变不等式的符号。”
蒂蒂：“嗯……”
我：“区分求积法是不断减小长方形的宽度 h 找出极限，也就是h → 0。当宽度 h 不断减小，最小值 L 和最大值 M 都会逼近
这 样 一 来， 可 以 知 道‘夹 挤 ’ 在 L 和 M 中间的极限值
会是 f (x) 。也就是
然后，我们可以用极限 lim 来表示
证明就到这里。”
蒂蒂：“咦？”
我：“因为
这个式子本身就是
的定义，所以可以得出
这正是我们想要确定的事情。虽然讲得很粗略，但这就是微积分基本定理的证明。
4
斜率与面积
听完我的说明后，蒂蒂暂时安静了下来，咬着指甲不知道在想什么。没过多久，蒂蒂便一脸困惑地开口了。
蒂蒂：“嗯……那个，我听懂学长的说明了，但我好像还是不理解
微分的概念。
我：“是吗？”
蒂蒂：“嗯。我理解了‘积分是微分的逆运算’，也知道
表示 F (x) 微分后会等于 f (x) 。但是，学长写出来的式子
我不知道怎么跟前面联系在一起……”
我：“原来如此。这个数学式是表示 h → 0 时的极限值
。”
的定义可知，这就是
蒂蒂：“突然想问‘为什么？’。”
微分后会是 x……我知道这个，但微分出现 lim，我会
我：“这样啊。蒂蒂虽然能够记住微分函数的公式，但可能对‘微分函数’的概念还不是很理解。
的定义中出现极限，的确有些难懂吧。”
蒂蒂：“啊，但是，我知道将函数 F(x) 对 x 微分后，可以得到图形的切线斜率！”
我：“刚才的定义式就是在讲‘切线斜率’。”
蒂蒂：“咦？”
我：“直接看图形比较好理解。在y = (Fx)的图形上，取点
和点
蒂蒂：“好的。”
我：“这样一来，两点连接的‘直线的斜率’会是
h越向右边前进时，
越往上移动。”
蒂蒂：“
越往上移动……啊，真的耶。
的斜率’。” 这个部分的确是‘直线
我：“然后，让 h 不断接近 0，讨论斜率的极限。也就是
我们想要知道这个极限值，而
正是表示这个极限值的数学式。换句话说，当 h → 0 时，过P 点的“切线斜率”等于 P 和 Q“连接直线”的斜率。”
蒂蒂：“啊，我懂了！的确，
的极限值会是F ′(x)！”
我：“对吧。”
蒂蒂：“原来如此……我懂学长说的除以宽度 h 的意义了。这样才能得出表示斜率的数学式，让式子符合F ′(x)的定义。”
F ′(x)：“就是这样。”
蒂蒂：“我前面能够‘看懂’数学式，却没办法‘读懂’……”
我：“没有这回事，你理解得很快。”
蒂蒂：“等一下。就‘积分是微分的逆运算’来说，这不是非常神奇吗？‘面积’和‘切线斜率’竟然是可逆的关系！”
我：“是的。这非常神奇。”
蒂蒂：“‘面积’和‘切线斜率’不是不相关吗 ?”
我：“嗯，这就是有趣的地方。直觉上来说，‘切线斜率’表示该函数的增加趋势。如果‘切线斜率’为 0 的话，函数完全不会增加；如果‘切线斜率’为正值的话，函数会不断增加；如果‘切线斜率’为负值的话，函数会不断减少……虽然这样表述不是特别严谨。”
蒂蒂：“不会，我弄懂了。”
我：“然后，因为 F (x) 表示面积，所以 y = (Fx) 的‘切线斜率’是表示面积的增加趋势。”
蒂蒂：“嗯，真的！”
我：“将‘切线斜率’看作面积的‘瞬间变化率’，可能比较容易理解，‘计算面积’和‘计算切线斜率’是在做相反的事情。”
蒂蒂：“啊，原来如此……”
蒂蒂翻开笔记本，开始整理前面讲的内容。说时迟……
米尔迦：“你们今天在讨论什么问题？”
……这时，米尔迦走进图书室。她留着一头乌黑长发，戴着金属框眼镜。她是我的同班同学、擅长数学的才女。
我：“我们不是在讨论问题，刚才……”
蒂蒂：“等一下。”
蒂蒂的视线离开笔记本，抬起头来打断我。
蒂蒂：“我来……向米尔迦学姐说明。”
然后，蒂蒂开始说明刚刚讲的内容。
①一开始，假设有一函数 f (x) 。令 y =f (x) 在区间 [a, x] 所
围成的图形面积为 F (x) 。
F (x) 函数是 f (x) 在区间 [a, x] 所围成的图形面积
②接着，将面积想象成是 x 的函数来做微分。F (x) 对 x 微分后的函数为 F ′(x) 。
F ′(x) 是 F x( ) 对 x 微分后的函数
③这样一来，函数F ′(x)竟然等于函数 f (x) ！
F ′(x) =f (x) 函数F ′(x) 等于函数 f (x)
米尔迦听着蒂蒂的说明。
米尔迦：“这是微积分的基本定理。”
我：“没错。我们刚才就是在讨论这个哦！”
后面还有对积分符号与定积分、数学对象与数学主张、原函数、不定积分的探求、定积分的探求、定和分的探求的展开，精彩之处不一而足。
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